플랑크 길이

Planck length
플랑크 단위의 일종. 광속 $c$, 디랙 상수 $\hbar$, 중력 상수 $G$를 이용하여 차원 분석을 통해, 길이 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1] 인위적으로 조합된 길이이다. $l_{\rm P}$로 나타내며[2] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.

$c$, $\hbar$, $G$의 단위 및 차원은 다음과 같다.

위 상수들을 조합해서 계산해보면 $\dfrac\hbar c$의 차원이 $\sf ML$이 됨을 쉽게 알 수 있다. 플랑크 질량 $m_{\rm P}$는 차원이 $\sf M$이며 $m_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar c}G}$이므로 $l_{\rm P}$는 $\dfrac\hbar c$를 $m_{\rm P}$로 나눈 값, 즉 $l_{\rm P} = \dfrac\hbar{m_{\rm P}c} = \dfrac\hbar c\sqrt{\dfrac G{\hbar c}} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}$로 정의된다.

우리 우주의 근간을 구성하는 물리 법칙[3]에 연관된 상수를 조합하여 차원이 $\sf L$이 되도록 조합된 길이이므로, 우리 우주에서 측정 가능하며 유의미한 최소한의 길이라는 의미를 내포하고 있다.

또한, 플랑크 단위계를 쓰면 불확정성 원리에 따라 $\sigma_x \sigma_p \ge \dfrac\hbar2$이므로 플랑크 길이 수준의 정확도를 추구하면 필연적으로 운동량의 표준편차의 최솟값이 플랑크 운동량 $p_{\rm P}$의 절반이라는 결론이 얻어진다.[4] 소립자 수준에서 이런 오차가 나온다는 것은 터무니없는 수치나 다름없다.

질량이 플랑크 질량인 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름은 정확히 플랑크 길이의 2배가 되며, 콤프턴 파장 $\lambda_{\rm C}$는 $\lambda_{\rm C} = 2\pi l_{\rm P}$라는 관계가 성립한다. 특히 $\lambda_{\rm C} = \dfrac h{mc}$를 $2\pi$로 나누면 $\hbar = \dfrac h{2\pi}$이므로 $\dfrac{\lambda_{\rm C}}{2\pi} = \dfrac\hbar{mc}$가 되는데, 마치 $h$와 $\hbar$의 관계처럼 이를 $\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C}$로 나타내며 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 한다. 유도 항목에서 전술한 것처럼 $l_{\rm P} = \dfrac\hbar{m_{\rm P}c}$이므로 질량이 $m_{\rm P}$인 블랙홀의 환산 콤프턴 파장은 곧 플랑크 길이와 같다는 것을 알 수 있다.